פתור את {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

הוסף ‎by לשני אגפי המשוואה.

$$ax=by-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{a} ב- ‎by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

השתמש ב- ‎\frac{by-8}{a} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

הכפל את ‎b ב- ‎\frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

הוסף את ‎\frac{b^{2}y}{a} ל- ‎ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

הוסף את ‎-\frac{8b}{a} ל- ‎1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

החסר ‎\frac{a-8b}{a} משני אגפי המשוואה.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

השתמש ב- ‎\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} במקום y ב- ‎x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

הכפל את ‎\frac{b}{a} ב- ‎\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

הוסף את ‎-\frac{8}{a} ל- ‎\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

כדי להפוך את ‎ax ו- ‎bx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎b ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

פשט.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

החסר את ‎abx+a^{2}y+a=0 מ- ‎abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

הוסף את ‎bax ל- ‎-bax. האיברים ‎bax ו- ‎-bax מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

הוסף את ‎-b^{2}y ל- ‎-a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

החסר ‎8b-a משני אגפי המשוואה.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

השתמש ב- ‎-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} במקום y ב- ‎bx+ay+1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

הכפל את ‎a ב- ‎-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

הוסף את ‎-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ל- ‎1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

החסר ‎\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} משני אגפי המשוואה.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

הוסף ‎by לשני אגפי המשוואה.

$$ax=by-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{a} ב- ‎by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

השתמש ב- ‎\frac{by-8}{a} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

הכפל את ‎b ב- ‎\frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

הוסף את ‎\frac{b^{2}y}{a} ל- ‎ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

הוסף את ‎-\frac{8b}{a} ל- ‎1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

החסר ‎\frac{a-8b}{a} משני אגפי המשוואה.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

השתמש ב- ‎\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} במקום y ב- ‎x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

הכפל את ‎\frac{b}{a} ב- ‎\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

הוסף את ‎-\frac{8}{a} ל- ‎\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

כדי להפוך את ‎ax ו- ‎bx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎b ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

פשט.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

החסר את ‎abx+a^{2}y+a=0 מ- ‎abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

הוסף את ‎bax ל- ‎-bax. האיברים ‎bax ו- ‎-bax מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

הוסף את ‎-b^{2}y ל- ‎-a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

החסר ‎8b-a משני אגפי המשוואה.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

השתמש ב- ‎-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} במקום y ב- ‎bx+ay+1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

הכפל את ‎a ב- ‎-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

הוסף את ‎-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ל- ‎1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

החסר ‎\frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} משני אגפי המשוואה.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$