פתור את {l}{a^2+b^2=100}{a+b=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 100 } \\ { a + b = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=10+5\sqrt{2}i\approx 10+7.071067812i\text{, }b=-5\sqrt{2}i+10\approx 10-7.071067812i$$

$$a=-5\sqrt{2}i+10\approx 10-7.071067812i\text{, }b=10+5\sqrt{2}i\approx 10+7.071067812i$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

פתור את ‎a+b=20 עבור ‎a על-ידי בידוד ‎a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+b=20$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$a=-b+20$$

השתמש ב- ‎-b+20 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎b^{2}+a^{2}=100.

$$b^{2}+\left(-b+20\right)^{2}=100$$

‎-b+20 בריבוע.

$$b^{2}+b^{2}-40b+400=100$$

הוסף את ‎b^{2} ל- ‎b^{2}.

$$2b^{2}-40b+400=100$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$2b^{2}-40b+300=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\times 20\left(-1\right)\times 2 במקום b, וב- 300 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 2\times 300}}{2\times 2}$$

‎1\times 20\left(-1\right)\times 2 בריבוע.

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 2\times 300}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-8\times 300}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎300.

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-2400}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1600 ל- ‎-2400.

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-800}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -800.

$$b=\frac{-\left(-40\right)±20\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎1\times 20\left(-1\right)\times 2 הוא ‎40.

$$b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎40 ל- ‎20i\sqrt{2}.

$$b=\frac{40+20\sqrt{2}i}{4}$$

חלק את ‎40+20i\sqrt{2} ב- ‎4.

$$b=10+5\sqrt{2}i$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20i\sqrt{2} מ- ‎40.

$$b=\frac{-20\sqrt{2}i+40}{4}$$

חלק את ‎40-20i\sqrt{2} ב- ‎4.

$$b=-5\sqrt{2}i+10$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎b‏: ‎10+5i\sqrt{2} ו- ‎10-5i\sqrt{2}. השתמש ב- ‎10+5i\sqrt{2} במקום ‎b במשוואה ‎a=-b+20 כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎a שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$a=-\left(10+5\sqrt{2}i\right)+20$$

כעת השתמש ב- ‎10-5i\sqrt{2} במקום ‎b במשוואה a=-b+20 ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎a שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$a=-\left(-5\sqrt{2}i+10\right)+20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\left(10+5\sqrt{2}i\right)+20,b=10+5\sqrt{2}i\text{ or }a=-\left(-5\sqrt{2}i+10\right)+20,b=-5\sqrt{2}i+10$$