פתור את {l}{a+5b=2}{a-2b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+5b=2$$

החסר ‎5b משני אגפי המשוואה.

$$a=-5b+2$$

השתמש ב- ‎-5b+2 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-2b=1.

$$-5b+2-2b=1$$

הוסף את ‎-5b ל- ‎-2b.

$$-7b+2=1$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-7b=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$b=\frac{1}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{7} במקום b ב- ‎a=-5b+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{1}{7}.

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{5}{7}.

$$a=\frac{9}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

החסר את ‎a-2b=1 מ- ‎a+5b=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-a+5b+2b=2-1$$

הוסף את ‎a ל- ‎-a. האיברים ‎a ו- ‎-a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5b+2b=2-1$$

הוסף את ‎5b ל- ‎2b.

$$7b=2-1$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-1.

$$7b=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$b=\frac{1}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{7} במקום b ב- ‎a-2b=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{1}{7}.

$$a-\frac{2}{7}=1$$

הוסף ‎\frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{9}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$