פתור את {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎a משני הצדדים.

$$3b+a=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+4b=8$$

החסר ‎4b משני אגפי המשוואה.

$$a=-4b+8$$

השתמש ב- ‎-4b+8 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a+3b=5.

$$-4b+8+3b=5$$

הוסף את ‎-4b ל- ‎3b.

$$-b+8=5$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-b=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$b=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום b ב- ‎a=-4b+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-4\times 3+8$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$a=-12+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-12.

$$a=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-4,b=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎a משני הצדדים.

$$3b+a=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-4,b=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎a משני הצדדים.

$$3b+a=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

החסר את ‎a+3b=5 מ- ‎a+4b=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

הוסף את ‎a ל- ‎-a. האיברים ‎a ו- ‎-a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4b-3b=8-5$$

הוסף את ‎4b ל- ‎-3b.

$$b=8-5$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-5.

$$b=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום b ב- ‎a+3b=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a+3\times 3=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$a+9=5$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$a=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-4,b=3$$