פתור את {l}{a+3b=6}{a-6b=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 6 } \\ { a - 6 b = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=8$$

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+3b=6$$

החסר ‎3b משני אגפי המשוואה.

$$a=-3b+6$$

השתמש ב- ‎-3b+6 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-6b=12.

$$-3b+6-6b=12$$

הוסף את ‎-3b ל- ‎-6b.

$$-9b+6=12$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-9b=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$b=-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום b ב- ‎a=-3b+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-3\left(-\frac{2}{3}\right)+6$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-\frac{2}{3}.

$$a=2+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎2.

$$a=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-3}&-\frac{3}{-6-3}\\-\frac{1}{-6-3}&\frac{1}{-6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 12\\\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

החסר את ‎a-6b=12 מ- ‎a+3b=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-a+3b+6b=6-12$$

הוסף את ‎a ל- ‎-a. האיברים ‎a ו- ‎-a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3b+6b=6-12$$

הוסף את ‎3b ל- ‎6b.

$$9b=6-12$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-12.

$$9b=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$b=-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום b ב- ‎a-6b=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-6\left(-\frac{2}{3}\right)=12$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-\frac{2}{3}.

$$a+4=12$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$a=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$