פתור את {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x-4y=8$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$9x=4y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎8+4y.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{8+4y}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{8+4y}{9}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

הוסף את ‎\frac{8y}{3} ל- ‎-2y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

החסר ‎\frac{16}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

הכפל את ‎\frac{4}{9} ב- ‎-\frac{7}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

הוסף את ‎\frac{8}{9} ל- ‎-\frac{14}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

פשט.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

החסר את ‎54x-18y=27 מ- ‎54x-24y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

הוסף את ‎54x ל- ‎-54x. האיברים ‎54x ו- ‎-54x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-24y+18y=48-27$$

הוסף את ‎-24y ל- ‎18y.

$$-6y=48-27$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-27.

$$-6y=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{2} במקום y ב- ‎6x-2y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{7}{2}.

$$6x+7=3$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$6x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$