פתור את {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$9x+2y=62$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$9x=-2y+62$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{9} ב- ‎-2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+62}{9} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

הוסף את ‎-\frac{8y}{9} ל- ‎4y.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

החסר ‎\frac{248}{9} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{28}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{19}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{9} ב- ‎\frac{19}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

הוסף את ‎\frac{62}{9} ל- ‎-\frac{38}{63} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{44}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

כדי להפוך את ‎9x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

פשט.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

החסר את ‎36x+36y=324 מ- ‎36x+8y=248 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

הוסף את ‎36x ל- ‎-36x. האיברים ‎36x ו- ‎-36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-36y=248-324$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-36y.

$$-28y=248-324$$

הוסף את ‎248 ל- ‎-324.

$$-28y=-76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-28.

$$y=\frac{19}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{7} במקום y ב- ‎4x+4y=36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{19}{7}.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

החסר ‎\frac{76}{7} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{176}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{44}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$