פתור את {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x-4y=2$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$8x=4y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+\frac{1}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

הוסף את ‎y ל- ‎3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$4y=\frac{11}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{11}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{8} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎\frac{11}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{11}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{15}{16}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

פשט.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

החסר את ‎16x+24y=48 מ- ‎16x-8y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

הוסף את ‎16x ל- ‎-16x. האיברים ‎16x ו- ‎-16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y-24y=4-48$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎-24y.

$$-32y=4-48$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-48.

$$-32y=-44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-32.

$$y=\frac{11}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{8} במקום y ב- ‎2x+3y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

החסר ‎\frac{33}{8} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{15}{8}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{15}{16}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$