פתור את {l}{8x+3y=25}{2x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 25 } \\ { 2 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+3y=25$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-3y+25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+25\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-3y+25.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+25}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=13.

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}\right)+3y=13$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-3y+25}{8}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}+3y=13$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{25}{4}=13$$

החסר ‎\frac{25}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{8}\times 3+\frac{25}{8}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{8} ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

הוסף את ‎\frac{25}{8} ל- ‎-\frac{9}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25-\frac{1}{6}\times 13\\-\frac{1}{9}\times 25+\frac{4}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

החסר את ‎2x+3y=13 מ- ‎8x+3y=25 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-2x+3y-3y=25-13$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8x-2x=25-13$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-2x.

$$6x=25-13$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-13.

$$6x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎2x+3y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\times 2+3y=13$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4+3y=13$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$3y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$