פתור את {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

פתור עבור k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור k על-ידי בידוד k בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8k+a=3650$$

החסר ‎a משני אגפי המשוואה.

$$8k=-a+3650$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} במקום ‎k במשוואה השניה, ‎15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

הכפל את ‎15 ב- ‎-\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

הוסף את ‎-\frac{15a}{8} ל- ‎a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

החסר ‎\frac{27375}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$a=7650$$

השתמש ב- ‎7650 במקום a ב- ‎k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את k ישירות.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{8} ב- ‎7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1825}{4} ל- ‎-\frac{3825}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=-500$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=-500,a=7650$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה k ו- a.

$$k=-500,a=7650$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

החסר את ‎15k+a=150 מ- ‎8k+a=3650 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

הוסף את ‎a ל- ‎-a. האיברים ‎a ו- ‎-a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8k-15k=3650-150$$

הוסף את ‎8k ל- ‎-15k.

$$-7k=3650-150$$

הוסף את ‎3650 ל- ‎-150.

$$-7k=3500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$k=-500$$

השתמש ב- ‎-500 במקום k ב- ‎15k+a=150. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

הכפל את ‎15 ב- ‎-500.

$$-7500+a=150$$

הוסף ‎7500 לשני אגפי המשוואה.

$$a=7650$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=-500,a=7650$$