פתור את {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x-8y=9$$

הוסף ‎8y לשני אגפי המשוואה.

$$7x=8y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{8y+9}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

הוסף את ‎\frac{32y}{7} ל- ‎-13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

החסר ‎\frac{36}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{59}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{106}{59}$$

השתמש ב- ‎\frac{106}{59} במקום y ב- ‎x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

הכפל את ‎\frac{8}{7} ב- ‎\frac{106}{59} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

הוסף את ‎\frac{9}{7} ל- ‎\frac{848}{413} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{197}{59}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

פשט.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

החסר את ‎28x-91y=-70 מ- ‎28x-32y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-32y+91y=36+70$$

הוסף את ‎-32y ל- ‎91y.

$$59y=36+70$$

הוסף את ‎36 ל- ‎70.

$$59y=106$$

חלק את שני האגפים ב- ‎59.

$$y=\frac{106}{59}$$

השתמש ב- ‎\frac{106}{59} במקום y ב- ‎4x-13y=-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

הכפל את ‎-13 ב- ‎\frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

הוסף ‎\frac{1378}{59} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{788}{59}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{197}{59}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$