פתור את {l}{7x-2y=30}{5x+2y=-156}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 30 } \\ { 5 x + 2 y = - 156 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

$$y = -\frac{207}{4} = -51\frac{3}{4} = -51.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x-2y=30,5x+2y=-156$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x-2y=30$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$7x=2y+30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+30\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎30+2y.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{30}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{30+2y}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+2y=-156.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{30}{7}\right)+2y=-156$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{30+2y}{7}.

$$\frac{10}{7}y+\frac{150}{7}+2y=-156$$

הוסף את ‎\frac{10y}{7} ל- ‎2y.

$$\frac{24}{7}y+\frac{150}{7}=-156$$

החסר ‎\frac{150}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{24}{7}y=-\frac{1242}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{24}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{207}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{207}{4} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{7}y+\frac{30}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{7}\left(-\frac{207}{4}\right)+\frac{30}{7}$$

הכפל את ‎\frac{2}{7} ב- ‎-\frac{207}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{207}{14}+\frac{30}{7}$$

הוסף את ‎\frac{30}{7} ל- ‎-\frac{207}{14} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{21}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{21}{2},y=-\frac{207}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x-2y=30,5x+2y=-156$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{5}{24}&\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 30+\frac{1}{12}\left(-156\right)\\-\frac{5}{24}\times 30+\frac{7}{24}\left(-156\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{2}\\-\frac{207}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{21}{2},y=-\frac{207}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x-2y=30,5x+2y=-156$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$5\times 7x+5\left(-2\right)y=5\times 30,7\times 5x+7\times 2y=7\left(-156\right)$$

פשט.

$$35x-10y=150,35x+14y=-1092$$

החסר את ‎35x+14y=-1092 מ- ‎35x-10y=150 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35x-35x-10y-14y=150+1092$$

הוסף את ‎35x ל- ‎-35x. האיברים ‎35x ו- ‎-35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y-14y=150+1092$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-14y.

$$-24y=150+1092$$

הוסף את ‎150 ל- ‎1092.

$$-24y=1242$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=-\frac{207}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{207}{4} במקום y ב- ‎5x+2y=-156. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+2\left(-\frac{207}{4}\right)=-156$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{207}{4}.

$$5x-\frac{207}{2}=-156$$

הוסף ‎\frac{207}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{105}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{21}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{21}{2},y=-\frac{207}{4}$$