פתור את {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+3y=43$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-3y+43$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-3y+43.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+43}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3y+43}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{7} ל- ‎-3y.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

החסר ‎\frac{172}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{33}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{7} ב- ‎-9.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

הוסף את ‎\frac{43}{7} ל- ‎\frac{27}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

פשט.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

החסר את ‎28x-21y=469 מ- ‎28x+12y=172 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+21y=172-469$$

הוסף את ‎12y ל- ‎21y.

$$33y=172-469$$

הוסף את ‎172 ל- ‎-469.

$$33y=-297$$

חלק את שני האגפים ב- ‎33.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎4x-3y=67. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-9.

$$4x+27=67$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$4x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=-9$$