פתור את {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+2y=24$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-2y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+24}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{7} ל- ‎2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

החסר ‎\frac{192}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{7} ב- ‎-9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

הוסף את ‎\frac{24}{7} ל- ‎\frac{18}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

החסר את ‎8x+2y=30 מ- ‎7x+2y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7x-8x=24-30$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-8x.

$$-x=24-30$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-30.

$$-x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎8x+2y=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$8\times 6+2y=30$$

הכפל את ‎8 ב- ‎6.

$$48+2y=30$$

החסר ‎48 משני אגפי המשוואה.

$$2y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-9$$