פתור את {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

חבר את ‎-6 ו- ‎5 כדי לקבל ‎-1.

$$2x-1=y-1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-1-y=-1$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$2x-y=-1+1$$

חבר את ‎-1 ו- ‎1 כדי לקבל ‎0.

$$2x-y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+18y=43$$

החסר ‎18y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-18y+43$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-18y+43}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

הוסף את ‎-\frac{36y}{7} ל- ‎-y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

החסר ‎\frac{86}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{43}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{18}{7} ב- ‎2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

הוסף את ‎\frac{43}{7} ל- ‎-\frac{36}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

חבר את ‎-6 ו- ‎5 כדי לקבל ‎-1.

$$2x-1=y-1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-1-y=-1$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$2x-y=-1+1$$

חבר את ‎-1 ו- ‎1 כדי לקבל ‎0.

$$2x-y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

חבר את ‎-6 ו- ‎5 כדי לקבל ‎-1.

$$2x-1=y-1$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-1-y=-1$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$2x-y=-1+1$$

חבר את ‎-1 ו- ‎1 כדי לקבל ‎0.

$$2x-y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

פשט.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

החסר את ‎14x-7y=0 מ- ‎14x+36y=86 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

הוסף את ‎14x ל- ‎-14x. האיברים ‎14x ו- ‎-14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y+7y=86$$

הוסף את ‎36y ל- ‎7y.

$$43y=86$$

חלק את שני האגפים ב- ‎43.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎2x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$