\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=1
y=2
גרף
שתף
הועתק ללוח
2x-6+5=y-1
שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3.
2x-1=y-1
חבר את -6 ו- 5 כדי לקבל -1.
2x-1-y=-1
החסר y משני האגפים.
2x-y=-1+1
הוסף 1 משני הצדדים.
2x-y=0
חבר את -1 ו- 1 כדי לקבל 0.
7x+18y=43,2x-y=0
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
7x+18y=43
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
7x=-18y+43
החסר 18y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)
חלק את שני האגפים ב- 7.
x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}
הכפל את \frac{1}{7} ב- -18y+43.
2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0
השתמש ב- \frac{-18y+43}{7} במקום x במשוואה השניה, 2x-y=0.
-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0
הכפל את 2 ב- \frac{-18y+43}{7}.
-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0
הוסף את -\frac{36y}{7} ל- -y.
-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}
החסר \frac{86}{7} משני אגפי המשוואה.
y=2
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{43}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}
השתמש ב- 2 במקום y ב- x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{-36+43}{7}
הכפל את -\frac{18}{7} ב- 2.
x=1
הוסף את \frac{43}{7} ל- -\frac{36}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=1,y=2
המערכת נפתרה כעת.
2x-6+5=y-1
שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3.
2x-1=y-1
חבר את -6 ו- 5 כדי לקבל -1.
2x-1-y=-1
החסר y משני האגפים.
2x-y=-1+1
הוסף 1 משני הצדדים.
2x-y=0
חבר את -1 ו- 1 כדי לקבל 0.
7x+18y=43,2x-y=0
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)
עבור מטריצת 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=1,y=2
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
2x-6+5=y-1
שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-3.
2x-1=y-1
חבר את -6 ו- 5 כדי לקבל -1.
2x-1-y=-1
החסר y משני האגפים.
2x-y=-1+1
הוסף 1 משני הצדדים.
2x-y=0
חבר את -1 ו- 1 כדי לקבל 0.
7x+18y=43,2x-y=0
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0
כדי להפוך את 7x ו- 2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 7.
14x+36y=86,14x-7y=0
פשט.
14x-14x+36y+7y=86
החסר את 14x-7y=0 מ- 14x+36y=86 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
36y+7y=86
הוסף את 14x ל- -14x. האיברים 14x ו- -14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
43y=86
הוסף את 36y ל- 7y.
y=2
חלק את שני האגפים ב- 43.
2x-2=0
השתמש ב- 2 במקום y ב- 2x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
2x=2
הוסף 2 לשני אגפי המשוואה.
x=1
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=1,y=2
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}