פתור את {l}{7n+46=a}{11n+2=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 n + 46 = a } \\ { 11 n + 2 = a } \end{array} \right.$$

פתור עבור n, a

$$n=11$$

$$a=123$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎a משני האגפים.

$$7n+46-a=0$$

החסר ‎46 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$7n-a=-46$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎a משני האגפים.

$$11n+2-a=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$11n-a=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור n על-ידי בידוד n בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7n-a=-46$$

הוסף ‎a לשני אגפי המשוואה.

$$7n=a-46$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$n=\frac{1}{7}\left(a-46\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎a-46.

$$n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-46+a}{7} במקום ‎n במשוואה השניה, ‎11n-a=-2.

$$11\left(\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}\right)-a=-2$$

הכפל את ‎11 ב- ‎\frac{-46+a}{7}.

$$\frac{11}{7}a-\frac{506}{7}-a=-2$$

הוסף את ‎\frac{11a}{7} ל- ‎-a.

$$\frac{4}{7}a-\frac{506}{7}=-2$$

הוסף ‎\frac{506}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{4}{7}a=\frac{492}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$a=123$$

השתמש ב- ‎123 במקום a ב- ‎n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את n ישירות.

$$n=\frac{1}{7}\times 123-\frac{46}{7}$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎123.

$$n=\frac{123-46}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{46}{7} ל- ‎\frac{123}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n=11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$n=11,a=123$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎a משני האגפים.

$$7n+46-a=0$$

החסר ‎46 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$7n-a=-46$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎a משני האגפים.

$$11n+2-a=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$11n-a=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-46\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{11}{4}\left(-46\right)+\frac{7}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\123\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה n ו- a.

$$n=11,a=123$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎a משני האגפים.

$$7n+46-a=0$$

החסר ‎46 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$7n-a=-46$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎a משני האגפים.

$$11n+2-a=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$11n-a=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

החסר את ‎11n-a=-2 מ- ‎7n-a=-46 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7n-11n-a+a=-46+2$$

הוסף את ‎-a ל- ‎a. האיברים ‎-a ו- ‎a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7n-11n=-46+2$$

הוסף את ‎7n ל- ‎-11n.

$$-4n=-46+2$$

הוסף את ‎-46 ל- ‎2.

$$-4n=-44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$n=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום n ב- ‎11n-a=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$11\times 11-a=-2$$

הכפל את ‎11 ב- ‎11.

$$121-a=-2$$

החסר ‎121 משני אגפי המשוואה.

$$-a=-123$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$a=123$$

המערכת נפתרה כעת.

$$n=11,a=123$$