פתור את {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7a-10b=-64$$

הוסף ‎10b לשני אגפי המשוואה.

$$7a=10b-64$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{10b-64}{7} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

הוסף את ‎\frac{30b}{7} ל- ‎5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

הוסף ‎\frac{192}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{65}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום b ב- ‎a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

הכפל את ‎\frac{10}{7} ב- ‎5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{64}{7} ל- ‎\frac{50}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-2,b=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-2,b=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

כדי להפוך את ‎7a ו- ‎3a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

פשט.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

החסר את ‎21a+35b=133 מ- ‎21a-30b=-192 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

הוסף את ‎21a ל- ‎-21a. האיברים ‎21a ו- ‎-21a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30b-35b=-192-133$$

הוסף את ‎-30b ל- ‎-35b.

$$-65b=-192-133$$

הוסף את ‎-192 ל- ‎-133.

$$-65b=-325$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-65.

$$b=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום b ב- ‎3a+5b=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$3a+5\times 5=19$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$3a+25=19$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$3a=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-2,b=5$$