פתור את {l}{6x-5y=3}{3x+2y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-5y=3$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=5y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎5y+3.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{6}+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=12.

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{5y}{6}+\frac{1}{2}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

הוסף את ‎\frac{5y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{6} ב- ‎\frac{7}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{35}{18} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{22}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

פשט.

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

החסר את ‎18x+12y=72 מ- ‎18x-15y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-12y=9-72$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-12y.

$$-27y=9-72$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-72.

$$-27y=-63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-27.

$$y=\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{3} במקום y ב- ‎3x+2y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{7}{3}.

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

החסר ‎\frac{14}{3} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{22}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{22}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$