פתור את {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-2y=4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=2y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{3} ל- ‎y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

הוסף ‎\frac{10}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{19}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{19}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{19}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{19}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

פשט.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

החסר את ‎-30x+6y=18 מ- ‎-30x+10y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

הוסף את ‎-30x ל- ‎30x. האיברים ‎-30x ו- ‎30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-6y=-20-18$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-6y.

$$4y=-20-18$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎-18.

$$4y=-38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{19}{2} במקום y ב- ‎-5x+y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

הוסף ‎\frac{19}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$