\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=-1
y=-3
גרף
שתף
הועתק ללוח
6x+y=-9,2x-3y=7
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
6x+y=-9
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
6x=-y-9
החסר y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)
חלק את שני האגפים ב- 6.
x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}
הכפל את \frac{1}{6} ב- -y-9.
2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7
השתמש ב- -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} במקום x במשוואה השניה, 2x-3y=7.
-\frac{1}{3}y-3-3y=7
הכפל את 2 ב- -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}.
-\frac{10}{3}y-3=7
הוסף את -\frac{y}{3} ל- -3y.
-\frac{10}{3}y=10
הוסף 3 לשני אגפי המשוואה.
y=-3
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}
השתמש ב- -3 במקום y ב- x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{1-3}{2}
הכפל את -\frac{1}{6} ב- -3.
x=-1
הוסף את -\frac{3}{2} ל- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=-1,y=-3
המערכת נפתרה כעת.
6x+y=-9,2x-3y=7
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=-1,y=-3
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
6x+y=-9,2x-3y=7
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7
כדי להפוך את 6x ו- 2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 6.
12x+2y=-18,12x-18y=42
פשט.
12x-12x+2y+18y=-18-42
החסר את 12x-18y=42 מ- 12x+2y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
2y+18y=-18-42
הוסף את 12x ל- -12x. האיברים 12x ו- -12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
20y=-18-42
הוסף את 2y ל- 18y.
20y=-60
הוסף את -18 ל- -42.
y=-3
חלק את שני האגפים ב- 20.
2x-3\left(-3\right)=7
השתמש ב- -3 במקום y ב- 2x-3y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
2x+9=7
הכפל את -3 ב- -3.
2x=-2
החסר 9 משני אגפי המשוואה.
x=-1
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=-1,y=-3
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}