פתור את {l}{6x+8y=20}{5y+3x=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+8y=20$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-8y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+20\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-8y+20.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y+10}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=8.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+5y=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-4y+10}{3}.

$$-4y+10+5y=8$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎5y.

$$y+10=8$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{10}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{8+10}{3}$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎\frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 5-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-8\times 3}&\frac{6}{6\times 5-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{4}{3}\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 20-\frac{4}{3}\times 8\\-\frac{1}{2}\times 20+8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 20,6\times 3x+6\times 5y=6\times 8$$

פשט.

$$18x+24y=60,18x+30y=48$$

החסר את ‎18x+30y=48 מ- ‎18x+24y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+24y-30y=60-48$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y-30y=60-48$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-30y.

$$-6y=60-48$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-48.

$$-6y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎3x+5y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\left(-2\right)=8$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2.

$$3x-10=8$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-2$$