פתור את {l}{6x+5y=4}{3(x-2y)+6=y-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 4 } \\ { 3 ( x - 2 y ) + 6 = y - 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-2y.

$$3x-6y+6=y-11$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-6y+6-y=-11$$

כנס את ‎-6y ו- ‎-y כדי לקבל ‎-7y.

$$3x-7y+6=-11$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$3x-7y=-11-6$$

החסר את 6 מ- -11 כדי לקבל -17.

$$3x-7y=-17$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+5y=4,3x-7y=-17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+5y=4$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-5y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-5y+4.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-7y=-17.

$$3\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-7y=-17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{5}{2}y+2-7y=-17$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎-7y.

$$-\frac{19}{2}y+2=-17$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎2.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-2y.

$$3x-6y+6=y-11$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-6y+6-y=-11$$

כנס את ‎-6y ו- ‎-y כדי לקבל ‎-7y.

$$3x-7y+6=-11$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$3x-7y=-11-6$$

החסר את 6 מ- -11 כדי לקבל -17.

$$3x-7y=-17$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+5y=4,3x-7y=-17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{6\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{57}&\frac{5}{57}\\\frac{1}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{57}\times 4+\frac{5}{57}\left(-17\right)\\\frac{1}{19}\times 4-\frac{2}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-2y.

$$3x-6y+6=y-11$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-6y+6-y=-11$$

כנס את ‎-6y ו- ‎-y כדי לקבל ‎-7y.

$$3x-7y+6=-11$$

החסר ‎6 משני האגפים.

$$3x-7y=-11-6$$

החסר את 6 מ- -11 כדי לקבל -17.

$$3x-7y=-17$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+5y=4,3x-7y=-17$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$3\times 6x+3\times 5y=3\times 4,6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\left(-17\right)$$

פשט.

$$18x+15y=12,18x-42y=-102$$

החסר את ‎18x-42y=-102 מ- ‎18x+15y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+15y+42y=12+102$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+42y=12+102$$

הוסף את ‎15y ל- ‎42y.

$$57y=12+102$$

הוסף את ‎12 ל- ‎102.

$$57y=114$$

חלק את שני האגפים ב- ‎57.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x-7y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-7\times 2=-17$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎2.

$$3x-14=-17$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=2$$