פתור את {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+2y=300$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-2y+300$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3}+50 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

הוסף את ‎-y ל- ‎5y.

$$4y+150=600$$

החסר ‎150 משני אגפי המשוואה.

$$4y=450$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{225}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{225}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{225}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

פשט.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

החסר את ‎18x+30y=3600 מ- ‎18x+6y=900 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-30y=900-3600$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-30y.

$$-24y=900-3600$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-3600.

$$-24y=-2700$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=\frac{225}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{225}{2} במקום y ב- ‎3x+5y=600. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

החסר ‎\frac{1125}{2} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{75}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{25}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$