פתור את {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+15y=360$$

החסר ‎15y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-15y+360$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}+60 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎10y.

$$-10y+480=440$$

החסר ‎480 משני אגפי המשוואה.

$$-10y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+60. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎4.

$$x=-10+60$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-10.

$$x=50$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=50,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=50,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

פשט.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

החסר את ‎48x+60y=2640 מ- ‎48x+120y=2880 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

הוסף את ‎48x ל- ‎-48x. האיברים ‎48x ו- ‎-48x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$120y-60y=2880-2640$$

הוסף את ‎120y ל- ‎-60y.

$$60y=2880-2640$$

הוסף את ‎2880 ל- ‎-2640.

$$60y=240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎60.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎8x+10y=440. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x+10\times 4=440$$

הכפל את ‎10 ב- ‎4.

$$8x+40=440$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$8x=400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=50$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=50,y=4$$