פתור את {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור u על-ידי בידוד u בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6u+4v=5$$

החסר ‎4v משני אגפי המשוואה.

$$6u=-4v+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} במקום ‎u במשוואה השניה, ‎9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

הוסף את ‎-6v ל- ‎-8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$v=\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{4} במקום v ב- ‎u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{1}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

הוסף את ‎\frac{5}{6} ל- ‎-\frac{1}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u=\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה u ו- v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

כדי להפוך את ‎6u ו- ‎9u לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

פשט.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

החסר את ‎54u-48v=24 מ- ‎54u+36v=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

הוסף את ‎54u ל- ‎-54u. האיברים ‎54u ו- ‎-54u מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36v+48v=45-24$$

הוסף את ‎36v ל- ‎48v.

$$84v=45-24$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-24.

$$84v=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎84.

$$v=\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{4} במקום v ב- ‎9u-8v=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$9u=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$u=\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$