פתור את {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$50x+y=200$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$50x=-y+200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{50} ב- ‎-y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{50}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

הכפל את ‎60 ב- ‎-\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

הוסף את ‎-\frac{6y}{5} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

החסר ‎240 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-100$$

השתמש ב- ‎-100 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{50}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

הכפל את ‎-\frac{1}{50} ב- ‎-100.

$$x=2+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎2.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-100$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-100$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

החסר את ‎60x+y=260 מ- ‎50x+y=200 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$50x-60x=200-260$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-60x.

$$-10x=200-260$$

הוסף את ‎200 ל- ‎-260.

$$-10x=-60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎60x+y=260. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$60\times 6+y=260$$

הכפל את ‎60 ב- ‎6.

$$360+y=260$$

החסר ‎360 משני אגפי המשוואה.

$$y=-100$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-100$$