פתור את {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, z

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5y-4z=-1$$

הוסף ‎4z לשני אגפי המשוואה.

$$5y=4z-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4z-1.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4z-1}{5} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{4z-1}{5}.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

הוסף את ‎-\frac{28z}{5} ל- ‎7z.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

החסר ‎\frac{7}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$z=\frac{38}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{38}{7} במקום z ב- ‎y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎\frac{38}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎\frac{152}{35} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{29}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- z.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

כדי להפוך את ‎5y ו- ‎-7y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

פשט.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

החסר את ‎-35y+35z=45 מ- ‎-35y+28z=7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

הוסף את ‎-35y ל- ‎35y. האיברים ‎-35y ו- ‎35y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$28z-35z=7-45$$

הוסף את ‎28z ל- ‎-35z.

$$-7z=7-45$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-45.

$$-7z=-38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$z=\frac{38}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{38}{7} במקום z ב- ‎-7y+7z=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{38}{7}.

$$-7y+38=9$$

החסר ‎38 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-29$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{29}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$