פתור את {l}{5x-y=9}{2x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 9 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-y=9$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎y+9.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9+y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+4y=8.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)+4y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{9+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{18}{5}+4y=8$$

הוסף את ‎\frac{2y}{5} ל- ‎4y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{18}{5}=8$$

החסר ‎\frac{18}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{22}{5}y=\frac{22}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{22}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1+9}{5}$$

הוסף את ‎\frac{9}{5} ל- ‎\frac{1}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 9+\frac{1}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 9+\frac{5}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 9,5\times 2x+5\times 4y=5\times 8$$

פשט.

$$10x-2y=18,10x+20y=40$$

החסר את ‎10x+20y=40 מ- ‎10x-2y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-2y-20y=18-40$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-20y=18-40$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-20y.

$$-22y=18-40$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-40.

$$-22y=-22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎2x+4y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+4=8$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$2x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1$$