פתור את {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{5}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-y=5$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{5}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎\frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

הוסף את ‎-\frac{y}{25} ל- ‎y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

הוסף ‎\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{24}{25}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{24}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{24} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{5}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎\frac{5}{24} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{5}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{5}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-\frac{x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-\frac{1}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

פשט.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

החסר את ‎-x+5y=0 מ- ‎-x+\frac{1}{5}y=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

הוסף את ‎\frac{y}{5} ל- ‎-5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{24}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{24}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{24} במקום y ב- ‎-\frac{1}{5}x+y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

החסר ‎\frac{5}{24} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=\frac{25}{24}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$