פתור את {l}{5x-y=0}{6x-3y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 0 } \\ { 6 x - 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-y=0,6x-3y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-y=0$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}y$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-3y=-9.

$$6\times \frac{1}{5}y-3y=-9$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{y}{5}.

$$\frac{6}{5}y-3y=-9$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎-3y.

$$-\frac{9}{5}y=-9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{5}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{5}\times 5$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎5.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-y=0,6x-3y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-9\right)\\-\frac{5}{9}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-y=0,6x-3y=-9$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5x+6\left(-1\right)y=0,5\times 6x+5\left(-3\right)y=5\left(-9\right)$$

פשט.

$$30x-6y=0,30x-15y=-45$$

החסר את ‎30x-15y=-45 מ- ‎30x-6y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30x-30x-6y+15y=45$$

הוסף את ‎30x ל- ‎-30x. האיברים ‎30x ו- ‎-30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+15y=45$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎15y.

$$9y=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎6x-3y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-3\times 5=-9$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎5.

$$6x-15=-9$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=5$$