פתור את {l}{5x-6y=34}{11x+9y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 34 } \\ { 11 x + 9 y = - 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-6y=34,11x+9y=-14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-6y=34$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=6y+34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+34\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎6y+34.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{34}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{6y+34}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎11x+9y=-14.

$$11\left(\frac{6}{5}y+\frac{34}{5}\right)+9y=-14$$

הכפל את ‎11 ב- ‎\frac{6y+34}{5}.

$$\frac{66}{5}y+\frac{374}{5}+9y=-14$$

הוסף את ‎\frac{66y}{5} ל- ‎9y.

$$\frac{111}{5}y+\frac{374}{5}=-14$$

החסר ‎\frac{374}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{111}{5}y=-\frac{444}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{111}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=\frac{6}{5}y+\frac{34}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{6}{5}\left(-4\right)+\frac{34}{5}$$

הכפל את ‎\frac{6}{5} ב- ‎-4.

$$x=\frac{-24+34}{5}$$

הוסף את ‎\frac{34}{5} ל- ‎-\frac{24}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-6y=34,11x+9y=-14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}&-\frac{-6}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}\\-\frac{11}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-6\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{37}&\frac{2}{37}\\-\frac{11}{111}&\frac{5}{111}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{37}\times 34+\frac{2}{37}\left(-14\right)\\-\frac{11}{111}\times 34+\frac{5}{111}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-6y=34,11x+9y=-14$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎11x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎11 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$11\times 5x+11\left(-6\right)y=11\times 34,5\times 11x+5\times 9y=5\left(-14\right)$$

פשט.

$$55x-66y=374,55x+45y=-70$$

החסר את ‎55x+45y=-70 מ- ‎55x-66y=374 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$55x-55x-66y-45y=374+70$$

הוסף את ‎55x ל- ‎-55x. האיברים ‎55x ו- ‎-55x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-66y-45y=374+70$$

הוסף את ‎-66y ל- ‎-45y.

$$-111y=374+70$$

הוסף את ‎374 ל- ‎70.

$$-111y=444$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-111.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎11x+9y=-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$11x+9\left(-4\right)=-14$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-4.

$$11x-36=-14$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$11x=22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-4$$