פתור את {l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-6y=-3$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=6y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎6y-3.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{6y-3}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-3y=3.

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{6y-3}{5}.

$$6y-3-3y=3$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-3y.

$$3y-3=3$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{6}{5} ב- ‎2.

$$x=\frac{12-3}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{12}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

החסר את ‎5x-3y=3 מ- ‎5x-6y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+3y=-3-3$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎3y.

$$-3y=-3-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-3.

$$-3y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎5x-3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-3\times 2=3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎2.

$$5x-6=3$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{9}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$