פתור את {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎19y משני האגפים.

$$5x-4y-19y=0$$

כנס את ‎-4y ו- ‎-19y כדי לקבל ‎-23y.

$$5x-23y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-23y=0$$

הוסף ‎23y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=23y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

השתמש ב- ‎\frac{23y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

הוסף את ‎23y ל- ‎2y.

$$25y=71$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$y=\frac{71}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{71}{25} במקום y ב- ‎x=\frac{23}{5}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

הכפל את ‎\frac{23}{5} ב- ‎\frac{71}{25} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1633}{125}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎19y משני האגפים.

$$5x-4y-19y=0$$

כנס את ‎-4y ו- ‎-19y כדי לקבל ‎-23y.

$$5x-23y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎19y משני האגפים.

$$5x-4y-19y=0$$

כנס את ‎-4y ו- ‎-19y כדי לקבל ‎-23y.

$$5x-23y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

החסר את ‎5x+2y=71 מ- ‎5x-23y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-23y-2y=-71$$

הוסף את ‎-23y ל- ‎-2y.

$$-25y=-71$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$y=\frac{71}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{71}{25} במקום y ב- ‎5x+2y=71. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

החסר ‎\frac{142}{25} משני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$