פתור את {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-4y=11$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=4y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y+11}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

הוסף את ‎\frac{12y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

החסר ‎\frac{33}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{22}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{11} במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎\frac{1}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

הוסף את ‎\frac{11}{5} ל- ‎\frac{4}{55} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{25}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

פשט.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

החסר את ‎15x+10y=35 מ- ‎15x-12y=33 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-10y=33-35$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-10y.

$$-22y=33-35$$

הוסף את ‎33 ל- ‎-35.

$$-22y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=\frac{1}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{11} במקום y ב- ‎3x+2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

החסר ‎\frac{2}{11} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{75}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{25}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$