פתור את {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-4y=-3$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=4y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y-3}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

הוסף את ‎\frac{12y}{5} ל- ‎-4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

הוסף ‎\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{28}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

החסר את ‎3x-4y=-13 מ- ‎5x-4y=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎4y. האיברים ‎-4y ו- ‎4y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-3x=-3+13$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-3x.

$$2x=-3+13$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎13.

$$2x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום x ב- ‎3x-4y=-13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\times 5-4y=-13$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5.

$$15-4y=-13$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=7$$