פתור את {l}{5x-3y=11}{4x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 11 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-3y=11$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=3y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3y+11.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+11}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=2.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-y=2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{44}{5}-y=2$$

הוסף את ‎\frac{12y}{5} ל- ‎-y.

$$\frac{7}{5}y+\frac{44}{5}=2$$

החסר ‎\frac{44}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{5}y=-\frac{34}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{34}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{34}{7} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{34}{7}\right)+\frac{11}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎-\frac{34}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{102}{35}+\frac{11}{5}$$

הוסף את ‎\frac{11}{5} ל- ‎-\frac{102}{35} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{4}{7}\times 11+\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 11,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

פשט.

$$20x-12y=44,20x-5y=10$$

החסר את ‎20x-5y=10 מ- ‎20x-12y=44 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x-12y+5y=44-10$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y+5y=44-10$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎5y.

$$-7y=44-10$$

הוסף את ‎44 ל- ‎-10.

$$-7y=34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-\frac{34}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{34}{7} במקום y ב- ‎4x-y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-\left(-\frac{34}{7}\right)=2$$

החסר ‎\frac{34}{7} משני אגפי המשוואה.

$$4x=-\frac{20}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-\frac{5}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$