פתור את {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=14$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{14+2y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

החסר ‎\frac{42}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{41}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{63}{41}$$

השתמש ב- ‎\frac{63}{41} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎\frac{63}{41} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

הוסף את ‎\frac{14}{5} ל- ‎\frac{126}{205} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{140}{41}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

פשט.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

החסר את ‎15x+35y=105 מ- ‎15x-6y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-35y=42-105$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-35y.

$$-41y=42-105$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-105.

$$-41y=-63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-41.

$$y=\frac{63}{41}$$

השתמש ב- ‎\frac{63}{41} במקום y ב- ‎3x+7y=21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

החסר ‎\frac{441}{41} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{420}{41}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{140}{41}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$