פתור את {l}{5x-2y=1.5(x+1)}{3x-2.5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1.5 ( x + 1 ) } \\ { 3 x - 2.5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 1.5 ב- x+1.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

החסר ‎1.5x משני האגפים.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

כנס את ‎5x ו- ‎-1.5x כדי לקבל ‎3.5x.

$$3.5x-2y=1.5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3.5x-2y=1.5$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3.5x=2y+1.5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{2}{7}\left(2y+1.5\right)$$

הכפל את ‎\frac{2}{7} ב- ‎2y+1.5.

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y+3}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2.5y=-5.

$$3\left(\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}\right)-2.5y=-5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4y+3}{7}.

$$\frac{12}{7}y+\frac{9}{7}-2.5y=-5$$

הוסף את ‎\frac{12y}{7} ל- ‎-\frac{5y}{2}.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{7}=-5$$

החסר ‎\frac{9}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{44}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{14}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{7}\times 8+\frac{3}{7}$$

הכפל את ‎\frac{4}{7} ב- ‎8.

$$x=\frac{32+3}{7}$$

הוסף את ‎\frac{3}{7} ל- ‎\frac{32}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 1.5 ב- x+1.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

החסר ‎1.5x משני האגפים.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

כנס את ‎5x ו- ‎-1.5x כדי לקבל ‎3.5x.

$$3.5x-2y=1.5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}&-\frac{8}{11}\\\frac{12}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\times 1.5-\frac{8}{11}\left(-5\right)\\\frac{12}{11}\times 1.5-\frac{14}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 1.5 ב- x+1.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

החסר ‎1.5x משני האגפים.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

כנס את ‎5x ו- ‎-1.5x כדי לקבל ‎3.5x.

$$3.5x-2y=1.5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

כדי להפוך את ‎\frac{7x}{2} ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.5.

$$3\times 3.5x+3\left(-2\right)y=3\times 1.5,3.5\times 3x+3.5\left(-2.5\right)y=3.5\left(-5\right)$$

פשט.

$$10.5x-6y=4.5,10.5x-8.75y=-17.5$$

החסר את ‎10.5x-8.75y=-17.5 מ- ‎10.5x-6y=4.5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10.5x-10.5x-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

הוסף את ‎\frac{21x}{2} ל- ‎-\frac{21x}{2}. האיברים ‎\frac{21x}{2} ו- ‎-\frac{21x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎\frac{35y}{4}.

$$2.75y=\frac{9+35}{2}$$

הוסף את ‎4.5 ל- ‎17.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2.75y=22$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.75, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎3x-2.5y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2.5\times 8=-5$$

הכפל את ‎-2.5 ב- ‎8.

$$3x-20=-5$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=8$$