פתור את {l}{5x-2y=1}{15x-3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1 } \\ { 15 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+1}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎15x-3y=-3.

$$15\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)-3y=-3$$

הכפל את ‎15 ב- ‎\frac{2y+1}{5}.

$$6y+3-3y=-3$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-3y.

$$3y+3=-3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-4+1}{5}$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎-\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}\\-\frac{15}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{2}{15}\left(-3\right)\\-1+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎15x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎15 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$15\times 5x+15\left(-2\right)y=15,5\times 15x+5\left(-3\right)y=5\left(-3\right)$$

פשט.

$$75x-30y=15,75x-15y=-15$$

החסר את ‎75x-15y=-15 מ- ‎75x-30y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$75x-75x-30y+15y=15+15$$

הוסף את ‎75x ל- ‎-75x. האיברים ‎75x ו- ‎-75x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y+15y=15+15$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎15y.

$$-15y=15+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎15.

$$-15y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎15x-3y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$15x-3\left(-2\right)=-3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-2.

$$15x+6=-3$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$15x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$x=-\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$