פתור את {l}{5x+y=39}{3x+4y=54}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=39$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+39.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+39}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=54.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+39}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{5} ל- ‎4y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

החסר ‎\frac{117}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎9.

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

הוסף את ‎\frac{39}{5} ל- ‎-\frac{9}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

פשט.

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

החסר את ‎15x+20y=270 מ- ‎15x+3y=117 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-20y=117-270$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-20y.

$$-17y=117-270$$

הוסף את ‎117 ל- ‎-270.

$$-17y=-153$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎3x+4y=54. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\times 9=54$$

הכפל את ‎4 ב- ‎9.

$$3x+36=54$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$3x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=9$$