פתור את {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=35$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{5}+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+1.1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{5} ל- ‎\frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

החסר ‎49 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎30.

$$x=-6+7$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-6.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

פשט.

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

החסר את ‎35x+5.5y=200 מ- ‎35x+7y=245 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

הוסף את ‎35x ל- ‎-35x. האיברים ‎35x ו- ‎-35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y-5.5y=245-200$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-\frac{11y}{2}.

$$1.5y=245-200$$

הוסף את ‎245 ל- ‎-200.

$$1.5y=45$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎7x+1.1y=40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+1.1\times 30=40$$

הכפל את ‎1.1 ב- ‎30.

$$7x+33=40$$

החסר ‎33 משני אגפי המשוואה.

$$7x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=30$$