פתור את {l}{5x+y=1}{3x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 1 } \\ { 3 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+1}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=-1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+1}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}+y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{5} ל- ‎y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}=-1$$

החסר ‎\frac{3}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{5}y=-\frac{8}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-4.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{1}{5-3}\\-\frac{3}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-1\right)\\-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

החסר את ‎3x+y=-1 מ- ‎5x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-3x+y-y=1+1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-3x=1+1$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-3x.

$$2x=1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎1.

$$2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎3x+y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3+y=-1$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-4$$