פתור את {l}{5x+9y=40}{3x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+9y=40$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-9y+40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-9y+40.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

השתמש ב- ‎-\frac{9y}{5}+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+7y=3.

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{9y}{5}+8.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

הוסף את ‎-\frac{27y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{105}{8}$$

השתמש ב- ‎-\frac{105}{8} במקום y ב- ‎x=-\frac{9}{5}y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

הכפל את ‎-\frac{9}{5} ב- ‎-\frac{105}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎\frac{189}{8}.

$$x=\frac{253}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

פשט.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

החסר את ‎15x+35y=15 מ- ‎15x+27y=120 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$27y-35y=120-15$$

הוסף את ‎27y ל- ‎-35y.

$$-8y=120-15$$

הוסף את ‎120 ל- ‎-15.

$$-8y=105$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=-\frac{105}{8}$$

השתמש ב- ‎-\frac{105}{8} במקום y ב- ‎3x+7y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{105}{8}.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

הוסף ‎\frac{735}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{759}{8}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{253}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$