פתור את {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎2x+4y, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$1020=2060-2x-4y$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$2060-2x-4y=1020$$

החסר ‎2060 משני האגפים.

$$-2x-4y=1020-2060$$

החסר את 2060 מ- 1020 כדי לקבל -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+7y=2060$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-7y+2060$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{5}+412 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

הוסף את ‎\frac{14y}{5} ל- ‎-4y.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

הוסף ‎824 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{6}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=180$$

השתמש ב- ‎180 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{5}y+412. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

הכפל את ‎-\frac{7}{5} ב- ‎180.

$$x=-252+412$$

הוסף את ‎412 ל- ‎-252.

$$x=160$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=160,y=180$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎2x+4y, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$1020=2060-2x-4y$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$2060-2x-4y=1020$$

החסר ‎2060 משני האגפים.

$$-2x-4y=1020-2060$$

החסר את 2060 מ- 1020 כדי לקבל -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=160,y=180$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. כדי למצוא את ההופכי של ‎2x+4y, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$1020=2060-2x-4y$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$2060-2x-4y=1020$$

החסר ‎2060 משני האגפים.

$$-2x-4y=1020-2060$$

החסר את 2060 מ- 1020 כדי לקבל -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

פשט.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

החסר את ‎-10x-20y=-5200 מ- ‎-10x-14y=-4120 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

הוסף את ‎-10x ל- ‎10x. האיברים ‎-10x ו- ‎10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

הוסף את ‎-14y ל- ‎20y.

$$6y=-4120+5200$$

הוסף את ‎-4120 ל- ‎5200.

$$6y=1080$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=180$$

השתמש ב- ‎180 במקום y ב- ‎-2x-4y=-1040. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎180.

$$-2x-720=-1040$$

הוסף ‎720 לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=-320$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=160$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=160,y=180$$