פתור את {l}{5x+6y=32}{3x-2y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 32 } \\ { 3 x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+6y=32$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-6y+32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+32\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-6y+32.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-6y+32}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=-20.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}\right)-2y=-20$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-6y+32}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{96}{5}-2y=-20$$

הוסף את ‎-\frac{18y}{5} ל- ‎-2y.

$$-\frac{28}{5}y+\frac{96}{5}=-20$$

החסר ‎\frac{96}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{28}{5}y=-\frac{196}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{28}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{6}{5}\times 7+\frac{32}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{6}{5} ב- ‎7.

$$x=\frac{-42+32}{5}$$

הוסף את ‎\frac{32}{5} ל- ‎-\frac{42}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-2\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{3}{28}&-\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 32+\frac{3}{14}\left(-20\right)\\\frac{3}{28}\times 32-\frac{5}{28}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 32,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-20\right)$$

פשט.

$$15x+18y=96,15x-10y=-100$$

החסר את ‎15x-10y=-100 מ- ‎15x+18y=96 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+18y+10y=96+100$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y+10y=96+100$$

הוסף את ‎18y ל- ‎10y.

$$28y=96+100$$

הוסף את ‎96 ל- ‎100.

$$28y=196$$

חלק את שני האגפים ב- ‎28.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎3x-2y=-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 7=-20$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎7.

$$3x-14=-20$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=7$$