פתור את {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+5y=15$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-5y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-5y+15.

$$x=-y+3$$

השתמש ב- ‎-y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎10y.

$$6y+12=-2$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$6y=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{3} במקום y ב- ‎x=-y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

פשט.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

החסר את ‎20x+50y=-10 מ- ‎20x+20y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-50y=60+10$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-50y.

$$-30y=60+10$$

הוסף את ‎60 ל- ‎10.

$$-30y=70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{3} במקום y ב- ‎4x+10y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

הוסף ‎\frac{70}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{64}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{16}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$