פתור את {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+4y=-3$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-4y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y-3}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{24y}{5} ל- ‎3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

הוסף ‎\frac{18}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{8}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{8}{9} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{5} ב- ‎-\frac{8}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{32}{45} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

פשט.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

החסר את ‎30x+15y=-10 מ- ‎30x+24y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

הוסף את ‎30x ל- ‎-30x. האיברים ‎30x ו- ‎-30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y-15y=-18+10$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-15y.

$$9y=-18+10$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎10.

$$9y=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=-\frac{8}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{8}{9} במקום y ב- ‎6x+3y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

הוסף ‎\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{2}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$