\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111
y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889
גרף
שתף
הועתק ללוח
5x+4y=-3,6x+3y=-2
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
5x+4y=-3
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
5x=-4y-3
החסר 4y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)
חלק את שני האגפים ב- 5.
x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}
הכפל את \frac{1}{5} ב- -4y-3.
6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2
השתמש ב- \frac{-4y-3}{5} במקום x במשוואה השניה, 6x+3y=-2.
-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2
הכפל את 6 ב- \frac{-4y-3}{5}.
-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2
הוסף את -\frac{24y}{5} ל- 3y.
-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}
הוסף \frac{18}{5} לשני אגפי המשוואה.
y=-\frac{8}{9}
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{9}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}
השתמש ב- -\frac{8}{9} במקום y ב- x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}
הכפל את -\frac{4}{5} ב- -\frac{8}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{1}{9}
הוסף את -\frac{3}{5} ל- \frac{32}{45} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}
המערכת נפתרה כעת.
5x+4y=-3,6x+3y=-2
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
5x+4y=-3,6x+3y=-2
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)
כדי להפוך את 5x ו- 6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 5.
30x+24y=-18,30x+15y=-10
פשט.
30x-30x+24y-15y=-18+10
החסר את 30x+15y=-10 מ- 30x+24y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
24y-15y=-18+10
הוסף את 30x ל- -30x. האיברים 30x ו- -30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
9y=-18+10
הוסף את 24y ל- -15y.
9y=-8
הוסף את -18 ל- 10.
y=-\frac{8}{9}
חלק את שני האגפים ב- 9.
6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2
השתמש ב- -\frac{8}{9} במקום y ב- 6x+3y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
6x-\frac{8}{3}=-2
הכפל את 3 ב- -\frac{8}{9}.
6x=\frac{2}{3}
הוסף \frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{9}
חלק את שני האגפים ב- 6.
x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}