פתור את {l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=-6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y-6.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y-6}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y-6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{5} ל- ‎5y.

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

הוסף ‎\frac{12}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{21}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{52}{21}$$

השתמש ב- ‎\frac{52}{21} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎\frac{52}{21} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{6}{5} ל- ‎-\frac{104}{105} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{46}{21}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

פשט.

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

החסר את ‎10x+25y=40 מ- ‎10x+4y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-25y=-12-40$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-25y.

$$-21y=-12-40$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-40.

$$-21y=-52$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-21.

$$y=\frac{52}{21}$$

השתמש ב- ‎\frac{52}{21} במקום y ב- ‎2x+5y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{52}{21}.

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

החסר ‎\frac{260}{21} משני אגפי המשוואה.

$$2x=-\frac{92}{21}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{46}{21}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$