פתור את {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

פתור עבור k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3k+b=5$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-4k+b=-9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור k על-ידי בידוד k בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3k+b=5$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$3k=-b+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-b+5}{3} במקום ‎k במשוואה השניה, ‎-4k+b=-9.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

הוסף את ‎\frac{4b}{3} ל- ‎b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

הוסף ‎\frac{20}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום b ב- ‎k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את k ישירות.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=2,b=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3k+b=5$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-4k+b=-9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה k ו- b.

$$k=2,b=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3k+b=5$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$-4k+b=-9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

החסר את ‎-4k+b=-9 מ- ‎3k+b=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

הוסף את ‎b ל- ‎-b. האיברים ‎b ו- ‎-b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3k+4k=5+9$$

הוסף את ‎3k ל- ‎4k.

$$7k=5+9$$

הוסף את ‎5 ל- ‎9.

$$7k=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$k=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום k ב- ‎-4k+b=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$-4\times 2+b=-9$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$-8+b=-9$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$b=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=2,b=-1$$