פתור את {l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$48x+40y=1280$$

החסר ‎40y משני אגפי המשוואה.

$$48x=-40y+1280$$

חלק את שני האגפים ב- ‎48.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{48} ב- ‎-40y+1280.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

הכפל את ‎120 ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}.

$$-100y+3200+80y=2800$$

הוסף את ‎-100y ל- ‎80y.

$$-20y+3200=2800$$

החסר ‎3200 משני אגפי המשוואה.

$$-20y=-400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎20.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

הוסף את ‎\frac{80}{3} ל- ‎-\frac{50}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

כדי להפוך את ‎48x ו- ‎120x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎120 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎48.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

פשט.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

החסר את ‎5760x+3840y=134400 מ- ‎5760x+4800y=153600 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

הוסף את ‎5760x ל- ‎-5760x. האיברים ‎5760x ו- ‎-5760x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

הוסף את ‎4800y ל- ‎-3840y.

$$960y=153600-134400$$

הוסף את ‎153600 ל- ‎-134400.

$$960y=19200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎960.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎120x+80y=2800. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$120x+80\times 20=2800$$

הכפל את ‎80 ב- ‎20.

$$120x+1600=2800$$

החסר ‎1600 משני אגפי המשוואה.

$$120x=1200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎120.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=20$$